Nghiệm kép là gì và khi nào một phương trình có nghiệm kép?

1. Nghiệm kép là gì và điều kiện nào khiến phương trình có nghiệm kép?

Phương trình bậc 2 có hình thức như sau:

Các bước giải phương trình bậc 2 được thực hiện như sau:

- Xác định các hệ số a, b, c trong phương trình

Tính giá trị của các nghiệm x như sau:

Phương trình có nghiệm kép khi:

Để phương trình bậc 2 có nghiệm kép, cần thỏa mãn các điều kiện sau:

- Hệ số a của phương trình phải khác 0, tức là phương trình không được là phương trình bậc 1

- kiểm tra hệ số a của phương trình: Nếu a = 0, phương trình không còn là phương trình bậc 2 và sẽ không có nghiệm kép

2. Bài tập về phương trình có nghiệm kép

Câu 1: Bạn An kinh doanh hai sản phẩm handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay cần 4 giờ làm việc và bán được 40 ngàn đồng, còn mỗi vòng đeo cổ cần 6 giờ và bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An không bán quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu bạn An cần để đạt doanh thu ít nhất 400 ngàn đồng trong tuần?

Câu 2: Mô tả cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của hình thang cân

Câu 5: Xác định các giá trị của m để phương trình m²x² + 5x + m = 0 có nghiệm kép

Câu 6:

Diện tích của một hình chữ nhật là 36 đơn vị diện tích. Một cạnh của hình chữ nhật dài 6 đơn vị. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật này

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x và chiều rộng là y

Theo bài toán, phương trình diện tích hình chữ nhật là x * y = 36, vậy hai cạnh của hình chữ nhật là bao nhiêu?

3. Giải bài tập về phương trình với nghiệm kép

Câu 1:

Làm vòng tay mỗi giờ kiếm được 10 ngàn đồng

Làm vòng cổ mỗi giờ kiếm được: 40 / 3 = 13 ngàn đồng

Vì làm vòng cổ có lợi hơn, nên ưu tiên làm vòng cổ nhiều nhất có thể

Làm 4 vòng cổ mất 24 giờ và thu về 320 ngàn đồng

Để đạt ít nhất 400 ngàn đồng, cần làm thêm vòng tay để kiếm thêm 80 ngàn đồng, tức là phải làm thêm 2 vòng tay

Vì thế, cần thêm 8 giờ để hoàn thành

Do đó, tổng thời gian tối thiểu cần có là 32 giờ mỗi tuần để An kiếm được ít nhất 400 ngàn đồng

Câu 2:

Xem xét hình thang cân ABCD với AB // CD

AC cắt BD tại điểm O

Vì vậy, AD = BC và AC = BD

Xem xét tam giác ACD và tam giác BDC, ta có:

AC = BD

AD = BC

CD là cạnh chung

Do đó, tam giác ACD bằng tam giác BDC (c. c.c)

Hai góc này đều chắn cung CD, nên A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn

Gọi E là trung tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD

Do đó, EA = EB chứng tỏ E nằm trên đường trung trực của AB

EA = ED cho thấy E nằm trên đường trung trực của AD

Vậy, tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD là giao điểm của đường trung trực các cạnh đáy và cạnh bên

Câu 3:

Thay giá trị của a, b, c vào phương trình, ta có:

Chuyển hệ số m^3 sang bên trái và hệ số m sang bên phải, ta có:

Giải phương trình này để xác định giá trị của m

Do đây là phương trình bậc 3, để tìm nghiệm chính xác, có thể sử dụng phương pháp giải đường cong hoặc các phương pháp giải phương trình bậc 3 khác

Tuy nhiên, việc phương trình ban đầu có nghiệm kép hay không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của m

Câu 4:

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

Giải phương trình này, ta có m = 0

Câu 5:

Cuối cùng, lấy căn bậc ba của hai vế để xác định giá trị của m

Câu 6:

Gọi x là chiều dài và y là chiều rộng của hình chữ nhật

Theo đề bài, phương trình diện tích là x . y = 36 và các cạnh của hình chữ nhật đều có độ dài là 6

Áp dụng công thức diện tích, ta có:

x * y = 36

Thay x = y = 6 vào công thức, ta được:

6 . 6 = 36

Đã xác nhận rằng hai cạnh của hình chữ nhật đều bằng 6, chứng tỏ rằng phương trình diện tích có nghiệm kép x = y = 6.