[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các dạng toán Lãi suất kép | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài viết này Vted giới thiệu và tổng hợp đến bạn đọc tất cả các dạng toán Lãi suất kép thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây:

>Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Định nghĩa lãi kép: Gửi tiền vào ngân hàng, nếu đến kì hạn người gửi khôngrút lãi ra và số tiền lãi được tính vào vốn để tính lãi cho kì kế tiếp.

Ta cùng xét một số dạng bài toán hay gặp là nền tảng kiến thức để giải quyết các trường hợp riêng như sau:

Dạng 1: Theo hình thức lãi kép, gửi $a$ đồng, lãi suất $r$ một kì theo hình thức lãi kép. Tính số tiền thu về sau $n$ kì.

Sau kì thứ nhất số tiền thu về ${{A}_{1}}=a+ar=a(1+r).$

Sau kì thứ hai số tiền thu về ${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+r)=a{{(1+r)}^{2}}.$

Sau kì thứ $n$ số tiền thu về ${{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}.$

Ta có công thức lãi kép tính tổng số tiền thu về ${{A}_{n}}$ (gồm gốc và lãi) sau $n$ kì là

\[{{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}},\]

trong đó $a$ là số tiền gốc gửi vào đầu kì và $r$ là lãi suất.

Từ công thức trên ta suy ra các công thức liên hệ:

• Số tiền lãi thu về sau $n$ kì là ${{L}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}-a=a[{{(1+r)}^{n}}-1]$ (đồng).
• Số tiền gửi ban đầu $a=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{(1+r)}^{n}}}$ (đồng).
• Lấy logarit hai vế, ta được: $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}(*).$

Công thức (*) cho thấy để tổng số tiền thu về sau $n$ kì ít nhất là ${{A}_{n}}$ thì phải sau ít nhất $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}$ kì gửi.

Trong thực tế, khi ${{\log }_{1+r}}\frac{{{A}_{n}}}{a}$ nguyên thì $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a},$ khi ${{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}$ lẻ thì $n=\left[ {{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a} \right]+1.$

Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 năm là 6% thì sau 2 năm người này thu về số tiền là ?

A. 11,236 (triệu đồng).

B. 11 (triệu đồng).

C. 12,236 (triệu đồng).

D. 11,764 (triệu đồng).

Giải. Số tiền thu về sau 2 năm là

\[10.{{(1+0,06)}^{2}}\approx 11,236\] (triệu đồng).

Chọn đáp án A.

• Số tiền lãi là $11,236-10=1,236$ (triệu đồng).

Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm người này thu về số tiền lãi là ?

A. 11,272 (triệu đồng).

B. 10,617 (triệu đồng).

C. 1,272 (triệu đồng).

D. 0,617 (triệu đồng).

Giải. Tổng số tiền người này thu về là

\[10.{{(1+0,005)}^{24}}\approx 11,272\] (triệu đồng).

• Số tiền lãi thu về là $11,272-10=1,272$ (triệu đồng).

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 15 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 năm là 6%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền người này thu về ít nhất là 19 triệu đồng ?

A. 4 năm.

B. 6 năm.

C. 3 năm.

D. 5 năm.

Giải. Số tiền người này thu về sau $n$ năm là $15.{{(1+0,06)}^{n}}$ (triệu đồng).

Theo giả thiết, ta có

$15.{{(1+0,06)}^{n}}\ge 19\Leftrightarrow n\ge {{\log }_{1,06}}\frac{19}{15}\approx 4,057.$

Vậy sau ít nhất 5 năm thì số tiền người này thu về là ít nhất 19 triệu đồng.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4. Một người có số tiền là $150.000.000$ đồng, đem gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép, loại kỳ hạn $6$ tháng vào ngân hàng với lãi suất \[4%/\]1 kỳ hạn. Vậy sau thời gian \[7\] năm \[9\] tháng, người đó nhận được tổng số tiền cả vốn và lãi là bao nhiêu (số tiền được làm tròn đến \[100\] đồng)? Biết rằng khi thời điểm rút tiền chưa tròn các kỳ hạn thì số ngày rút trước thời hạn (phần chưa tròn kỳ hạn) ngân hàng sẽ trả lãi suất theo loại không kỳ hạn \[0,01%\] một ngày. (\[1\] tháng tính \[30\] ngày). Biết trong toàn bộ quá trình gửi, người đó không rút tiền gốc và lãi, lãi suất không thay đổi.

A. \[275.491.382\] đồng.

B. \[271.491.526\] đồng.

C. \[272.572.800\] đồng.

D. \[270.141.526\] đồng.

Giải. Tổng số tiền nhận của khoản gửi theo đúng kì hạn 6 tháng sau 7 năm 6 tháng là $150{{\left( 1+0,04 \right)}^{15}}$ triệu đồng.

Tổ số lãi nhận được của phần rút trước hạn cho 3 tháng = 90 ngày là $150{{\left( 1+0,04 \right)}^{15}}\times 0,0001\times 90$ triệu đồng.

Vậy tổng số tiền nhận được sau 7 năm 9 tháng là $150{{\left( 1+0,04 \right)}^{15}}+150{{\left( 1+0,04 \right)}^{15}}\times 0,0001\times 90\approx 272,572800$ triệu đồng. Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Một người gửi số tiền $500$ (triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất $6,5$%/năm theo hình thức lãi kép. Đến hết năm thứ $3,$ vì cần tiền nên người đó rút ra $100$ (triệu đồng), phần còn lại vẫn tiếp tục gửi. Hỏi sau: $5$ năm kể từ lúc bắt đầu gửi, người đó có được số tiền là bao nhiêu? (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi; không kể $100$ (triệu đồng) đã rút).

A. $571,620$ (triệu đồng).

B. $572,150$ (triệu đồng).

C. $573,990$ (triệu đồng).

D. $574,135$ (triệu đồng).

Giải. Số tiền nhận được sau 5 năm là $\left[ 500{{\left( 1+0,065 \right)}^{3}}-100 \right]{{\left( 1+0,065 \right)}^{2}}\approx 571,620$ triệu đồng. Chọn đáp án A.

Dạng 2:Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi kì gửi $a$ đồng, lãi suất $r$ một kì. Tính số tiền thu được sau $n$ kì (gồm cả gốc và lãi)

Số tiền thu về sau kì thứ nhất là ${{A}_{1}}=a(1+r).$

Số tiền thu về sau kì thứ hai là ${{A}_{2}}=a(1+r)+a{{(1+r)}^{2}}.$

Số tiền thu về sau $n$ kì là ${{A}_{n}}=a(1+r)+a{{(1+r)}^{2}}+...+a{{(1+r)}^{n}}.$

Áp dụng công thức tính tổng riêng thứ $n$ của cấp số nhân với số hạng đầu và công bội $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=a(1+r) \\& q=1+r \\\end{align} \right.$, ta có

\[{{A}_{n}}={{u}_{1}}.\dfrac{{{q}^{n}}-1}{q-1}=a(1+r).\dfrac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]

tổng số tiền lãi nhận được: ${{L}_{n}}={{A}_{n}}-na=a(1+r).\dfrac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}-na$ (đồng).

Từ đây ta có các công thức liên hệ khác tuỳ thuộc vào yêu cầu bài toán:

Số tiền gửi đều đặn đầu mỗi kì là $a=\dfrac{{{A}_{n}}r}{(1+r)[{{(1+r)}^{n}}-1]}$(đồng).

Số kì gửi là \[n={{\log }_{1+r}}\left[ \dfrac{{{A}_{n}}r}{a(1+r)}+1 \right].\]

*Chú ý.Ta nên quan niệm số tiền thu về là số tiền thu về của $n$ khoản gửi, mỗi khoảng $a$ đồng với kì hạn gửi tương ứng là $n,n-1,...,1$ khi đó số tiền thu về theo công thức lãi kép là

\[{{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}+a{{(1+r)}^{n-1}}+...+a(1+r)=a(1+r).\dfrac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]

Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi tháng một người gửi đều đặn vào ngân hàng cùng một số tiền 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm số tiền người này thu về (cả gốc và lãi) là ?

A.255,591 (triệu đồng).

C.254,591 (triệu đồng).

B.254,320 (triệu đồng).

D.255,320 (triệu đồng).

Giải.Số tiền người này thu về sau 2 năm là

\[10{{(1+0,005)}^{24}}+10{{(1+0,005)}^{23}}+...+10{{(1+0,005)}^{1}}=10(1+0,005).\dfrac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}\approx 255,591\] (triệu đồng). Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi tháng một người gửi đều đặn vào ngân hàng cùng một số tiền $m$ (triệu đồng), lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm số tiền người này thu về (cả gốc và lãi) là 100 (triệu đồng). Tính số tiền $m.$

A. \[m=\dfrac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\] (triệu đồng).

C. \[m=\dfrac{1}{2\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\] (triệu đồng).

B. \[m=\dfrac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{25}}-1 \right]}\] (triệu đồng).

D. \[m=\dfrac{1}{2\left[ {{(1,005)}^{25}}-1 \right]}\] (triệu đồng).

Giải. Số tiền người này thu về sau 2 năm là

\[m{{(1+0,005)}^{24}}+m{{(1+0,005)}^{23}}+...+m{{(1+0,005)}^{1}}=m(1+0,005).\frac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}.\]

Theo giả thiết, ta có

\[m(1+0,005).\dfrac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}=100\Leftrightarrow m=\dfrac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\] (triệu đồng).

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3. Một người cứ đều đặn đầu mỗi tháng đều gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm là $x$ đồng. Tìm $x$ để người này nhận về số tiền $200$ triệu đồng sau $36$ tháng gửi tiết kiệm. Biết rằng tiền tiết kiệm gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép, kỳ hạn một tháng với lãi suất là $0,67$% một tháng và lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi.

A. $x=4900000.$

B. $x=4800000.$

C. $x=4890000.$

D. $x=4000000.$

Giải. Tổng số tiền nhận được là $x{{\left( 1+0,0067 \right)}^{36}}+x{{\left( 1+0,0067 \right)}^{35}}+...+x{{\left( 1+0,0067 \right)}^{1}}={{200.10}^{6}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{{{200.10}^{6}}}{\sum\limits_{k=1}^{36}{{{\left( 1+0,0067 \right)}^{k}}}}\approx 48981500.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4. Đều đặn đầu mỗi tháng anh A gửi tiết kiệm số tiền 6 triệu đồng/tháng với lãi suất 0,5%/tháng và cứ sau đúng 2 năm số tiền gửi tiết kiệm đều đặn mỗi tháng tăng thêm 10% so với 2 năm trước đó. Sau đúng 50 tháng kể từ ngày gửi anh A nhận được tổng số tiền bằng (giả định trong thời gian này lãi suất không thay đổi)

A. $341.570.000$ đồng.

B. $336.674.000$ đồng.

C. $359.598.000$ đồng.

D. $379.782.000$ đồng.

Giải. Từ đầu tháng 1 đến đầu tháng 24 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là $m=6$ triệu đồng.

Từ đầu tháng 25 đến đầu tháng 48 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là ${{m}_{1}}=m\times (1+0,1)$ triệu đồng.

Từ đầu tháng 49 đến đầu tháng 50 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là ${{m}_{2}}={{m}_{1}}\times (1+0,1)=m\times {{(1+0,1)}^{2}}$ triệu đồng.

Tổng số tiền nhận được sau đúng 50 tháng kể từ ngày gửi là

\[\begin{array}{l} \left[ {m{{(1 + 0,005)}^{50}} + ... + m{{(1 + 0,005)}^{27}}} \right] + \left[ {{m_1}{{(1 + 0,005)}^{26}} + ... + {m_1}{{(1 + 0,005)}^3}} \right] + \left[ {{m_2}{{(1 + 0,005)}^2} + {m_2}{{(1 + 0,005)}^1}} \right]\\ = m\sum\limits_{k = 27}^{50} {{{(1,005)}^k}} + {m_1}\sum\limits_{k = 3}^{26} {{{(1,005)}^k}} + {m_2}\sum\limits_{k = 1}^2 {{{(1,005)}^k}} \\ = 6\sum\limits_{k = 27}^{50} {{{(1,005)}^k}} + 6 \times 1,1\sum\limits_{k = 3}^{26} {{{(1,005)}^k}} + 6 \times 1,{1^2}\sum\limits_{k = 1}^2 {{{(1,005)}^k}} = 359,598. \end{array}\]

Chọn đáp án C.

Dạng 3:Theo hình thức lãi kép, vay $A$ đồng, lãi suất $r,$ trả nợ đều đặn mỗi kì số tiền $m$ đồng. Hỏi sau bao nhiêu kì thì trả hết số nợ gồm cả gốc và lãi ?

Gọi $m$ là số tiền trả đều đặn mỗi kì.

Sau kì thứ nhất số tiền còn phải trả là ${{A}_{1}}=A(1+r)-m.$

Sau kì thứ hai số tiền còn phải trả là

${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+r)-m=\left[ A(1+r)-m \right](1+r)-m=A{{(1+r)}^{2}}-\left[ m+m(1+r) \right].$

Sau kì thứ n số tiền còn phải trả là

\[{{A}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}-\left[ m+m(1+r)+...+m{{(1+r)}^{n-1}} \right].\]

Theo công thức tổng riêng thứ $n$ của một cấp số nhân, ta có

\[{{A}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}-m\dfrac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]

Sau kì thứ $n$ trả hết nợ nên ${{A}_{n}}=0,$ do đó

\[A{{(1+r)}^{n}}-m\dfrac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{Ar{{(1+r)}^{n}}}{{{(1+r)}^{n}}-1}\] (đồng).

Từ công thức trên ta có các công thức liên hệ:

• Số tiền vay gốc là $A=\dfrac{m\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]}{r{{(1+r)}^{n}}}$ (triệu đồng).
• Lấy logarit hai vế, ta có \[n={{\log }_{1+r}}\dfrac{m}{m-Ar}.\]

Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, một người vay ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 1%. Người này trả nợ đều đặn cho ngân hàng mỗi tháng cùng một số tiền $m$ triệu đồng. Sau đúng một năm thì người này trả hết nợ. Tính số tiền $m.$

A. \[m=\dfrac{100\times {{(1,01)}^{12}}}{12}\] (triệu đồng).

C. \[m=\dfrac{{{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng).

B. \[m=\dfrac{10\times {{(1,1)}^{12}}}{{{(1,1)}^{12}}-1}\] (triệu đồng).

D. \[m=\dfrac{10\times {{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng).

Giải. Số tiền còn phải trả sau tháng thứ nhất là ${{A}_{1}}=100(1+0,01)-m.$

Số tiền còn phải trả sau tháng thứ hai là ${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+0,01)-m=100{{(1+0,01)}^{2}}-m-m(1+0,01).$

Số tiền còn phải trả sau tháng thứ 12 là ${{A}_{12}}=100{{(1+0,01)}^{12}}-\left[ m+m(1+0,01)+...+m{{(1+0,01)}^{11}} \right].$

Theo công thức tổng riêng của cấp số nhân, ta có

\[{{A}_{12}}=100{{(1+0,01)}^{12}}-m.\dfrac{{{(1+0,01)}^{12}}-1}{0,01}.\]

Sau tháng 12 người này trả hết nợ nên ${{A}_{12}}=0,$ do đó

\[100{{(1+0,01)}^{12}}-m.\dfrac{{{(1+0,01)}^{12}}-1}{0,01}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{100\times 0,01\times {{(1+0,01)}^{12}}}{{{(1+0,01)}^{12}}-1}=\frac{{{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng).

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2. Ông A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,67% /tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông ta bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng đều bằng nhau và bằng 3 triệu. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi bằng cách hoàn nợ đó, ông A cần trả ít nhất bao nhiêu tháng kể từ ngày vay đến lúc trả hết nợ ngân hàng (giả định trong thời gian này lãi suất không thay đổi)

A. 17 tháng. B. 19 tháng. C. 18 tháng. D. 20 tháng.

Giải. Số tiền còn nợ sau tháng thứ nhất là ${{A}_{1}}=50{{(1+0,0067)}^{1}}-3.$

Số tiền còn nợ sau tháng thứ hai là ${{A}_{2}}={{A}_{1}}{{(1+0,0067)}^{1}}-3=50{{(1+0,0067)}^{2}}-\left[ 3+3(1,0067) \right].$

…

Số tiền còn nợ sau tháng thứ n là ${{A}_{n}}=50{{(1+0,0067)}^{n}}-\left[ 3+3(1,0067)+...+3{{(1,0067)}^{n-1}} \right]=50{{(1,0067)}^{n}}-3\frac{{{(1,0067)}^{n}}-1}{0,0067}.$

Trả hết nợ khi \[{{A}_{n}}=0\Leftrightarrow 50{{(1,0067)}^{n}}-3\frac{{{(1,0067)}^{n}}-1}{0,0067}=0\Leftrightarrow n={{\log }_{1,0067}}\left( \frac{\frac{3}{0,0067}}{\frac{3}{0,0067}-50} \right)\approx 17,732.\]

Vậy sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay sẽ trả hết nợ. Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng với lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kỳ trả đầu tiên là sau đúng một tháng kể từ ngày vay, biết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình vay. Hỏi số tiền phải trả ở kỳ cuối cùng là bao nhiêu để người này trả hết nợ ngân hàng?

A. $2.921.000$ đồng.

B. $3.387.000$ đồng.

C. $2.944.000$ đồng.

D. $3.353.000$ đồng.

Giải. Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng thứ 1 là ${{A}_{1}}=400{{(1+0,01)}^{1}}-10.$

Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng thứ 2 là ${{A}_{2}}={{A}_{1}}{{(1+0,01)}^{1}}-10=400{{(1+0,01)}^{2}}-\left[ 10+10(1,01) \right].$

Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng thứ n là ${{A}_{n}}=400{{(1,01)}^{n}}-\left[ 10+10(1,01)+...+10{{(1,01)}^{n-1}} \right]=400{{(1,01)}^{n}}-10\frac{{{(1,01)}^{n}}-1}{0,01}=1000-600{{(1,01)}^{n}}.$

Trước tiên giải ${{A}_{n}}=0\Leftrightarrow {{(1,01)}^{n}}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow n={{\log }_{1,01}}\left( \frac{5}{3} \right)\approx 51,33.$

Số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng thứ 51 là $1000-600{{(1,01)}^{51}}\approx 3.353.000$ đồng.

Số tiền phải trả cho ngân hàng cho tháng thứ 52 (kỳ cuối cùng) là $\left( 1000-600{{(1,01)}^{51}} \right)\times 1,01\approx 3.387.000$ đồng. Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Hai anh em An và Bình cùng vay tiền ở ngân hàng với lãi suất $0,7$% một tháng với tổng số tiền vay của hai người là 200 triệu đồng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, mỗi người bắt đầu trả nợ cho ngân hàng khoản vay của mình. Mỗi tháng hai người trả số tiền bằng nhau cho ngân hàng để trừ vào tiền gốc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì An cần 10 tháng, Bình cần 15 tháng. Số tiền mà mỗi người trả cho ngân hàng mỗi tháng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 7 614 000 đồng.

B. 10 214 000 đồng.

C. 9 248 000 đồng.

D. 8 397 000 đồng.

Giải. Gọi số tiền vay ban đầu là ${{u}_{0}}$ (đồng), tiền trả hàng tháng là $x$ (đồng) và lãi suất hàng tháng là 0, 7%.

Số tiền còn lại sau 1 tháng ${{u}_{1}}={{u}_{0}}1,007-x$ (đồng)

Số tiền còn lại sau 2 tháng là ${{u}_{2}}={{u}_{1}}1,007-x={{u}_{0}}1,{{007}^{2}}-1,007x-x={{u}_{0}}1,{{007}^{2}}-x\left( 1+1,007 \right)$ (đồng).

Số tiền còn lại sau n tháng là ${{u}_{n}}={{u}_{0}}1,{{007}^{n}}-x\left( 1+1,007+1,{{007}^{2}}+...+1,{{007}^{n-1}} \right)={{u}_{0}}1,{{007}^{n}}-x\dfrac{1,{{007}^{n}}-1}{0,007}$ (đồng).

Sau n tháng thì hết nợ $\Rightarrow \ {{u}_{n}}=0\Leftrightarrow {{u}_{0}}=\dfrac{x\left( 1,{{007}^{n}}-1 \right)}{0,007.1,{{007}^{n}}}$ (đồng)

Để trả hết nợ thì An cần 10 tháng và Bình cần 15 tháng và số tiền trả hàng tháng của hai người như nhau và tổng số tiền vay của hai người là 200 triệu đồng nên ta có $\dfrac{x\left( 1,{{007}^{10}}-1 \right)}{0,007.1,{{007}^{10}}}+\dfrac{x\left( 1,{{007}^{15}}-1 \right)}{0,007.1,{{007}^{15}}}={{2.10}^{8}}\Rightarrow x\approx 8397070$ (đồng). Chọn đáp án D.

Tự luyện: Ba anh Sơn, Tuấn và Minh cùng vay tiền ở một ngân hàng với lãi suất $0,7$%/tháng, tổng số tiền vay của cả ba người là $1$ tỷ đồng. Biết rằng mỗi tháng ba người đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền gốc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì Sơn cần $10$ tháng, Tuấn cần $15$ tháng và Minh cần $25$ tháng. Số tiền trả đều đặn cho ngân hàng mỗi tháng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. $21090000$ đồng.

B. $21400000$ đồng.

C. $21420000$ đồng.

D. $21900000$ đồng.

Ví dụ 5: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4.000.000 đồng vào cuối tháng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% một tháng theo hình thức lãi kép. Theo quy định, nếu người vay trả trước hạn thì sẽ chịu thêm phí phạt bằng 3% số tiền trả trước hạn. Hết tháng thứ 6 , người đó muốn trả hết nợ. Tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng là

A. 54.886.000 đồng.

B. 53.322.000 đồng.

C. 53.864.000 đồng.

D. 52.468.000 đồng.

Giải. Đặt $A=50$ triệu đồng và $m=4$ triệu đồng và $r=0,01.$ Gọi ${{A}_{n}}$ là số tiền còn nợ ngân hàng hết tháng thứ $n.$

Ta có ${{A}_{1}}=A\left( 1+r \right)-m;{{A}_{2}}={{A}_{1}}\left( 1+r \right)-m=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left[ 1+\left( 1+r \right) \right]$

$\Rightarrow {{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-m\left[ 1+\left( 1+r \right)+...+{{\left( 1+r \right)}^{n-1}} \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-m.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}$

Hết tháng thứ 6, người này còn nợ ngân hàng số tiền ${{A}_{6}}.$ Nhưng lúc này tiến hành trả trả hết nợ nên phải trả thêm phí phạt 3% của số tiền còn nợ là ${{A}_{6}}\times 0,03.$

Tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng là ${{A}_{6}}\left( 1+0,03 \right)+6\times m=\left[ 50{{\left( 1+0,01 \right)}^{6}}-4\times \dfrac{{{\left( 1+0,01 \right)}^{6}}-1}{0,01} \right]\times \left( 1+0,03 \right)+24\approx 53,322$ triệu đồng. Chọn đáp án B.

Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm