Trọng tâm tam giác là một trong những khái niệm quan trọng được học từ lớp 7. Nhưng trọng tâm thực sự là gì và làm thế nào để xác định nó? Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của Mytour để tìm hiểu chi tiết.
Trong bài học này, chúng tôi sẽ giới thiệu toàn bộ kiến thức về trọng tâm tam giác, bao gồm tính chất và một số dạng bài tập kèm đáp án chi tiết. Hy vọng rằng đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp bạn củng cố kỹ năng giải toán và đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra.
Hiểu về trọng tâm tam giác
- 1. Định nghĩa và ý nghĩa của trọng tâm tam giác
- 2. Tính chất quan trọng của trọng tâm tam giác
- 3. Phương pháp xác định trọng tâm tam giác
- 4. Ứng dụng của trọng tâm trong các hình học đặc biệt
- 5. Bài tập thực hành về trọng tâm tam giác
1. Ý nghĩa của Trọng tâm tam giác
Trọng tâm của tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó
Theo sách giáo khoa hiện nay, học sinh lớp 7 đã học về trọng tâm. Định nghĩa trọng tâm được ghi lại như sau: “Trong một tam giác, ba đường trung tuyến cùng gặp nhau tại một điểm, gọi là trọng tâm”.
Ví dụ: Trong tam giác ABC với ba đường trung tuyến là AM, BN, CP. Ba đường trung tuyến này gặp nhau tại điểm G, là trọng tâm của tam giác ABC.
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cùng gặp nhau tại điểm G.
Điểm G được xác định là trọng tâm của tam giác ABC.
2. Đặc điểm của trọng tâm tam giác
Đặc điểm của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài của mỗi đường trung tuyến tương ứng.
Cho tam giác ABC với 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP và G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, chúng ta có:
Tam giác ABC có trọng tâm tại điểm G.
Do đó, chúng ta có:
Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M nằm trên cạnh BC và AM = 12cm. Hãy tính độ dài của đoạn AG và GM?
Bên cạnh đó, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Theo đó, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.
- Với đường trung tuyến AM, ta có:
- Đối với đường trung tuyến BN, chúng ta có:
- Đối với đường trung tuyến CP, ta tính được:
3. Cách xác định trọng tâm tam giác
Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta thực hiện các bước sau:
Cách 1:
- Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
- Nối A với M để được đường trung tuyến AM.
- Tương tự cho các đường trung tuyến còn lại.
- Giao 3 đường trung tuyến tại điểm G. Do đó, G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2:
Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MBNối A với M để được đường trung tuyến AM.Vậy theo tính chất trọng tâm, ta có G chính là trọng tâm của tam giác ABC.Cho tam giác ABC có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến tại đỉnh A, B, C. Giao của ba đường trung tuyến là điểm G. Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tính chất:
4. Trọng tâm của các hình học đặc biệt
A. Trọng tâm tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, do BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.
Vậy tam giác ADB và tam giác ABC lần lượt cân tại A,
B. Trọng tâm tam giác cân
Cho tam giác ABC cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác của tam giác ABC.
Hệ quả:
- AG vuông góc với BC.
C. Trọng tâm tam giác đều
Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
D. Trọng tâm tứ diện
Ta có G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.
5. Bài tập trọng tâm của tam giác
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:
Mà BM bằng CN nên BG cũng bằng CN và GN cũng bằng GM
BG bằng CN
GN bằng GM
Do đó, suy ra: BN bằng CM (1)
với M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)
Từ (1) và (2) ta có AB bằng AC => Tam giác ABC là tam giác cân tại A( chứng minh đpcm).
Bài tập 2
Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Giải:
Vẽ hình:
Đặt R, O, S lần lượt là trung điểm của MN, MP, PN.
Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.
Do tam giác MNP là tam giác đều, ta có:
MS = PR = NO (1).
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên theo tính chất của đường trung tuyến:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Hỏi độ dài của đoạn AI là bao nhiêu?
Lời giải
Vẽ hình minh họa
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).
Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).
Vậy đoạn AI có chiều dài là 6 cm.
Với những kiến thức cơ bản và bài tập luyện tập như trên, Mytour hy vọng bạn đã có được hiểu biết nhất định về trọng tâm. Hãy nắm vững những kiến thức này để có thể giải các bài tập hình học từ cơ bản đến nâng cao.